உள்ளடக்கத்துக்குச் செல்க
TNPSC Guide
தமிழ்EN

பாடக் குறிப்பு + கேள்விகள்

சுருக்குதல்: செயலிகளின் வரிசை, வர்க்கம், கனம், அடுக்குகள், சராசரி

Simplification: order of operations, squares, cubes, exponents and the mean

எழுதியவர் TNPSC Guide ஆசிரியர் குழு · கடைசியாகப் புதுப்பிக்கப்பட்டது:

சுருக்குதல் கணக்குகளில் செயலிகளின் வரிசை (BIDMAS விதி) முதல் விதி: அடைப்புக்குறி, அடுக்கு, பின் வகுத்தலும் பெருக்கலும் இடமிருந்து வலமாக, கடைசியில் கூட்டலும் கழித்தலும் இடமிருந்து வலமாக. வர்க்கம், கனம், வர்க்கமூலம், கனமூலம் ஆகியவற்றைப் பகாக் காரணிகளால் காணலாம். அடுக்கு விதிகள்: a^m × a^n = a^(m+n), a^m ÷ a^n = a^(m−n), (a^m)^n = a^(mn), a^0 = 1. முதல் n இயல் எண்களின் கூடுதல், வர்க்கங்களின் கூடுதல், கனங்களின் கூடுதல் ஆகியவற்றுக்குச் சூத்திரங்கள் உண்டு. சராசரி = கூடுதல் ÷ எண்ணிக்கை.

முக்கிய எண்கள்

முக்கிய விதிகளும் விடைகளும்

செயலிகளின் வரிசைஅடைப்புக்குறி, அடுக்கு, ÷ × இடமிருந்து வலம், + − இடமிருந்து வலம் (6ஆம் வகுப்பு, பக்கம் 17)
24 + 2 × 8 ÷ 2 − 131 (6ஆம் வகுப்பு, பக்கம் 17)
20 + [8 × 2 + {(6 × 3) − (10 ÷ 5)}]52 (6ஆம் வகுப்பு, பக்கம் 17)
√32418 (8ஆம் வகுப்பு, பக்கம் 29-30)
675 ஐ முழு கனமாக்க5 ஆல் பெருக்க, 3375 = 15^3 (8ஆம் வகுப்பு, பக்கம் 40)
இராமானுஜன் எண்1729 = 12^3 + 1^3 = 10^3 + 9^3 (8ஆம் வகுப்பு, பக்கம் 38)
81^(5/4) / 64^(−2/3)243 / 1/16 (9ஆம் வகுப்பு, பக்கம் 63-64)
1 + 2 + ... + nn(n + 1)/2 (10ஆம் வகுப்பு, பக்கம் 77)
1 + 3 + ... + (2n − 1)n^2 (10ஆம் வகுப்பு, பக்கம் 78)
1^3 + 2^3 + ... + n^3(n(n + 1)/2)^2 (10ஆம் வகுப்பு, பக்கம் 78-79)
மிகச் சிறிய நட்பு எண் சோடி220, 284 (10ஆம் வகுப்பு, பக்கம் 79)
25 மாணவர், சராசரி 78.4, 96 → 69சரியான சராசரி 79.48 (9ஆம் வகுப்பு, பக்கம் 293)

எளிதில் குழம்பும் இணைகள்

8 ÷ 2 × 4 = 16 / 8 ÷ 8 = 1இடமிருந்து வலம் சரி (16); பெருக்கலை முதலில் செய்வது தவறு
10 − 2 + 3 = 11 / 10 − 5 = 5இடமிருந்து வலம் சரி (11); கூட்டலை எப்போதும் முதலில் செய்வது தவறு
a^m × a^n / (a^m)^nஅடுக்குகளைக் கூட்டுங்கள் (2^5); அடுக்குகளைப் பெருக்குங்கள் (2^6)
√9 / x^2 = 9 இன் தீர்வுகள்3 மட்டும்; ±3
√2 ≈ 1.414 / √2தோராய மதிப்பு; துல்லியமான மதிப்பு
√(1/25) / √21/5, முறுடு அல்ல; முறுடு
சராசரியை நேரடியாக மாற்றுதல் / கூடுதல் வழியாகத் திருத்துதல்தவறு; சரி (1960 − 69 + 96)
முழுக் குறிப்பு

செயலிகளின் வரிசை: BIDMAS விதி

BIDMAS விதி: B அடைப்புக்குறி, I அடுக்குகள், D வகுத்தல், M பெருக்கல், A கூட்டல், S கழித்தல். இந்த விதியில் இடப்பக்கத்திலிருந்து வலப்பக்கமாகச் செல்ல வேண்டும். ÷, × இரண்டையும் இடமிருந்து வலமாகச் செய்த பின், +, − இரண்டையும் இடமிருந்து வலமாகச் செய்யுங்கள். 9 + 5 × 2 = 9 + 10 = 19. எடுத்துக்காட்டு: பாடநூலின் மோர் கடைக் கணக்கில் 5 × (6 + 2) = 40 சரி; அடைப்புக்குறியை இடம் மாற்றி (5 × 6) + 2 = 32 என்று எழுதினால் தவறு. அடைப்புக்குறியைச் சரியான இடத்தில் இட்டால் குழப்பம் வராது.

எடுத்துக்காட்டு: அடைப்புக்குறிகளுடன் சுருக்குதல்

20 + [8 × 2 + {(6 × 3) − (10 ÷ 5)}] ஐச் சுருக்குக.

  1. உள் அடைப்புக்குறிகள் முதலில்: 6 × 3 = 18, 10 ÷ 5 = 2; {18 − 2} = 16.
  2. அடுத்த அடைப்புக்குறி: 8 × 2 + 16 = 16 + 16 = 32.
  3. கடைசியில் 20 + 32.

விடை: 52.

எடுத்துக்காட்டு: வகுத்தலும் பெருக்கலும் ஒரே வரியில்

24 + 2 × 8 ÷ 2 − 1 ஐச் சுருக்குக.

  1. ÷, × இடமிருந்து வலமாக: 2 × 8 = 16, 16 ÷ 2 = 8 (பாடநூல் 8 ÷ 2 = 4 ஐ முதலில் செய்து 2 × 4 = 8 என்கிறது; விடை அதே).
  2. பின் +, − இடமிருந்து வலமாக: 24 + 8 − 1.

விடை: 31.

வர்க்க எண்களும் வர்க்கமூலமும்

ஓர் இயல் எண் n ஐ மற்றோர் இயல் எண் m இன் வர்க்கமாக (n = m^2) எழுத முடிந்தால் அது வர்க்க எண்: 1, 4, 9, 16, ... வர்க்க எண்கள் 0, 1, 4, 5, 6, 9 என்ற இலக்கங்களில் மட்டுமே முடியும்; 2, 3, 7, 8 இல் முடியும் எண் முழு வர்க்கம் அல்ல. ஒரு முழு வர்க்கத்தை 3 ஆல் வகுத்தால் மீதி 0 அல்லது 1, ஒருபோதும் 2 அல்ல; 4 ஆல் வகுத்தாலும் மீதி 0 அல்லது 1. பூச்சியத்தில் முடியும் முழு வர்க்கம் இரட்டை எண்ணிக்கையிலான பூச்சியங்களில் முடியும். வர்க்கமூலம் காணப் பகாக் காரணிப்படுத்தி ஒத்த காரணிகளை இணைகளாக்குங்கள்: 324 = (2 × 3 × 3)^2, √324 = 18. 250 = 5^2 × 5 × 2; அதை 10 ஆல் பெருக்கினால் 2500 (வர்க்கமூலம் 50), 10 ஆல் வகுத்தால் 25 (வர்க்கமூலம் 5). 108 = 2^2 × 3^2 × 3 என்பதால் 108 முழு வர்க்கம் அல்ல. எடுத்துக்காட்டு: சதுர வடிவக் கோலத்தில் புள்ளிகள் 1, 4, 9, 16 என வளரும்; அவை வர்க்க எண்கள்.

கன எண்களும் கனமூலமும்

ஓர் எண்ணை அதே எண்ணால் இருமுறை பெருக்கக் கிடைப்பது கன எண்: 1, 8, 27, 64, 125, 216, ... 0, 1, 4, 5, 6, 9 இல் முடியும் எண்ணின் கனம் அதே இலக்கத்தில் முடியும்; 2 இல் முடிந்தால் கனம் 8 இல், 8 இல் முடிந்தால் 2 இல்; 3 இல் முடிந்தால் 7 இல், 7 இல் முடிந்தால் 3 இல். முழு கனம் சரியாக இரண்டு பூச்சியங்களில் முடியாது (1000 மூன்று பூச்சியங்களில் முடிகிறது). 675 = 3 × 3 × 3 × 5 × 5; அதை முழு கனமாக்க 5 ஆல் பெருக்க வேண்டும் (3375 = 15^3). 27000 = 2^3 × 3^3 × 5^3, கனமூலம் 30. 1729 = 12^3 + 1^3 = 10^3 + 9^3; இரண்டு கனங்களின் கூடுதலாக இரு வழிகளில் எழுதக்கூடிய மிகச்சிறிய எண் இதுவே (இராமானுஜன் எண்).

அடுக்கு விதிகள்

பூச்சியமற்ற எந்த எண்ணின் பூச்சிய அடுக்கும் 1: a^0 = 1 (a ≠ 0). குறை அடுக்கு: a^(−m) = 1/a^m. அடிமானம் ஒன்றாக இருந்தால்: a^m × a^n = a^(m+n) (பெருக்கல் விதி); a^m ÷ a^n = a^(m−n) (வகுத்தல் விதி); (a^m)^n = a^(mn) (படி விதி). மேலும் a^m × b^m = (ab)^m, a^m / b^m = (a/b)^m. 2^3 × 2^2 = 2^5 = 32; இது 2^6 அல்ல. அறிவியல் குறியீட்டில் ஓர் எண் S × 10^a என எழுதப்படும்: 1 ≤ S < 10, a ஒரு முழு; 0.00123 = 1.23 × 10^(−3), 1230000 = 1.23 × 10^6; மிகை அடுக்கு பெரிய எண்ணையும் குறை அடுக்கு சிறிய எண்ணையும் காட்டும்.

எடுத்துக்காட்டு: பூச்சிய அடுக்கு ஒரு குறுக்கு வழி

(4^(−1) + 4^(−2) + 4^(−3))^0 × (4^(−1) + 4^(−2) + 4^(−3))^1 இன் மதிப்பு என்ன?

  1. எந்த எண்ணின் (பூச்சியம் தவிர) பூச்சிய அடுக்கும் 1; முதல் அடைப்புக்குறிக்குள் கணக்கிடத் தேவையில்லை.
  2. இரண்டாம் பகுதி: 1/4 + 1/16 + 1/64.
  3. 1 × (1/4 + 1/16 + 1/64) = 21/64.

விடை: 21/64 (2025 கேள்வி எண் 194).

மூலங்களும் முறுடுகளும்

r^n = x எனில் r ஆனது x இன் n ஆம் மூலம்; அதை எழுதும் √ குறி மூலக்குறியீடு, n மூலத்தின் வரிசை, x மூல அடிமானம். n இரட்டை எனில் மூலக்குறி நேர் மூலத்தை மட்டுமே குறிக்கும்: √4 = 2, −√4 = −2; √4 = ±2 என எழுதுவது தவறு. பின்ன அடுக்கு: x^(m/n) = (x இன் n ஆம் மூலம்)^m; 81^(5/4) = 3^5 = 243; 64^(−2/3) = 1/16. விகிதமுறு எண்ணின் விகிதமுறா மூலமே முறுடு: √2, ∛3 முறுடுகள்; √(1/25) = 1/5 முறுடு அல்ல; π விகிதமுறா எண் என்றாலும் முறுடு அல்ல. முறுடின் வரிசை அதன் மூலத்தின் வரிசை: 99 இன் 5 ஆம் மூலத்தின் வரிசை 5. √2 ≈ 1.414, √3 ≈ 1.732 என்பவை தோராய மதிப்புகள்: (1.414)^2 = 1.999396, (1.732)^2 = 2.999824. 9ஆம் வகுப்புப் பாடநூல் இந்த இரண்டு வர்க்கங்களையும் தவறாக அச்சிட்டுள்ளது; மேலே உள்ளவையே சரி.

சிறப்புத் தொடர்கள்

முதல் n இயல் எண்களின் கூடுதல் 1 + 2 + ... + n = n(n + 1)/2. முதல் n ஒற்றை இயல் எண்களின் கூடுதல் 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) = n^2. வர்க்கங்களின் கூடுதல் 1^2 + 2^2 + ... + n^2 = n(n + 1)(2n + 1)/6. கனங்களின் கூடுதல் 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (n(n + 1)/2)^2; அதாவது கனங்களின் கூடுதல் இயல் எண்களின் கூடுதலின் வர்க்கம். ஆகவே கனங்களின் கூடுதல் 72900 எனில் இயல் எண்களின் கூடுதல் √72900 = 270. 220, 284 நட்பு எண்கள் (இணக்கமான எண்கள்): ஒன்றின் வகுத்திகளின் (தன்னைத் தவிர) கூடுதல் மற்றொன்று; இவையே மிகச் சிறிய நட்பு எண் சோடி. எடுத்துக்காட்டு: கோயில் தேர் வடம் பிடிக்க 1, 3, 5, ... என்று ஒற்றை எண்ணிக்கையில் வரிசைகள் சேர்ந்தால், முதல் n வரிசைகளின் மொத்த ஆள்கள் n^2.

கூட்டுச் சராசரி

கூட்டுச் சராசரி = எல்லா மதிப்புகளின் கூடுதல் ÷ மதிப்புகளின் எண்ணிக்கை: 25, 32, 36, 38, 45, 41, 35, 36 இன் சராசரி 288/8 = 36. ஊகச் சராசரி முறையில் சரியான சராசரி = ஊகச் சராசரி + வேறுபாடுகளின் சராசரி: 38 ஐ ஊகச் சராசரியாகக் கொண்டால் வேறுபாடுகளின் சராசரி −2, சராசரி 36. தவறாக எடுக்கப்பட்ட மதிப்பைச் சரிசெய்ய: முதலில் கூடுதலைக் காணுங்கள், தவறான மதிப்பைக் கழியுங்கள், சரியான மதிப்பைக் கூட்டுங்கள்; சராசரியை நேரடியாக மாற்றக் கூடாது. எடுத்துக்காட்டு: வகுப்பு ஆசிரியர் ஒரு மாணவரின் மதிப்பெண்ணைத் தவறாக எழுதினால் வகுப்புச் சராசரியைத் திருத்தும் முறை இதுவே.

எடுத்துக்காட்டு: தவறான மதிப்பெண்ணைத் திருத்துதல்

25 மாணவர்களின் சராசரி மதிப்பெண் 78.4. ஒருவரின் 96 என்ற மதிப்பெண் 69 எனத் தவறாக எடுக்கப்பட்டது. சரியான சராசரி என்ன?

  1. தவறான கூடுதல் = 25 × 78.4 = 1960.
  2. சரியான கூடுதல் = 1960 − 69 + 96 = 1987.
  3. சரியான சராசரி = 1987/25.

விடை: 79.48 (2025 கேள்வி எண் 195 இதே எண்கள்).

ஆதாரம்: கணக்கு, ஆறாம் வகுப்பு, முதல் பருவம், தொகுதி 2, தமிழ் வழி (Mathematics, Standard VI, Term I, Volume 2, Tamil medium; Samacheer Kalvi) (6ஆம் வகுப்புக் கணக்கு, பருவம் 1, இயல் 1 (1.7 செயலிகளின் வரிசை), பக்கம் 16-17; 8ஆம் வகுப்புக் கணக்கு, இயல் 1 எண்கள், பக்கம் 27-46; 9ஆம் வகுப்புக் கணக்கு, இயல் 2 மெய்யெண்கள், பக்கம் 62-66, இயல் 8 (8.4 கூட்டுச் சராசரி), பக்கம் 285-293; 10ஆம் வகுப்புக் கணிதம், இயல் 2 (2.11 சிறப்புத் தொடர்கள்), பக்கம் 77-79)

PYQ (2012-2025 தாள்கள்)

தற்காலிக விடைக்குறிப்பு: TNPSC இறுதி விடைக்குறிப்பு வெளியிடும் வரை; விடை மாறலாம்.

இலவசக் கேள்விகள்

  1. கேள்வி எண் 1

    முழு வர்க்க எண்கள் பற்றிய கூற்றுகளை ஆராய்க. 1. பூச்சியத்தில் முடியும் முழு வர்க்கம் ஒற்றை எண்ணிக்கையிலான பூச்சியங்களில் முடியும். 2. ஒரு முழு வர்க்கத்தை 3 ஆல் வகுத்தால் மீதி ஒருபோதும் 2 ஆகாது. 3. ஒரு முழு வர்க்கத்தை 4 ஆல் வகுத்தால் மீதி 0 அல்லது 1. இவற்றுள் சரியானவை எவை?

    1. A. 2 மட்டும்
    2. B. 1, 2 மட்டும்
    3. C. 2, 3 மட்டும்
    4. D. 1, 2, 3
    விடையும் விளக்கமும்

    சரியான விடை: C. 2, 3 மட்டும்

    பூச்சியத்தில் முடியும் முழு வர்க்கம் இரட்டை எண்ணிக்கையிலான பூச்சியங்களில் முடியும் (2500, 10000); முழு வர்க்கத்தை 3 ஆல் வகுத்தால் மீதி 0 அல்லது 1, 4 ஆல் வகுத்தால் 0 அல்லது 1; ஆகவே 2, 3 சரி, 1 தவறு.

    ஆதாரம்: கணக்கு, எட்டாம் வகுப்பு, தமிழ் வழி (Mathematics, Standard VIII, Tamil medium; Samacheer Kalvi) (இயல் 1 எண்கள், p. 28 (PDF p. 34))

  2. கேள்வி எண் 2

    கூற்று [A]: 10 − 2 + 3 = 11. காரணம் [R]: BIDMAS விதியில் கூட்டல் (A) கழித்தலுக்கு (S) முன் எழுதப்பட்டிருந்தாலும், கூட்டலும் கழித்தலும் இடப்பக்கத்திலிருந்து வலப்பக்கமாகச் செய்யப்படும்.

    1. A. [A], [R] இரண்டும் சரி; [R], [A]-வுக்குச் சரியான விளக்கம்
    2. B. [A], [R] இரண்டும் சரி; ஆனால் [R], [A]-வுக்குச் சரியான விளக்கம் அல்ல
    3. C. [A] சரி; [R] தவறு
    4. D. [A] தவறு; [R] சரி
    விடையும் விளக்கமும்

    சரியான விடை: A. [A], [R] இரண்டும் சரி; [R], [A]-வுக்குச் சரியான விளக்கம்

    BIDMAS விதியில் இடப்பக்கத்திலிருந்து வலப்பக்கமாகச் செல்ல வேண்டும்: 10 − 2 + 3 = 8 + 3 = 11; 10 − 5 = 5 எனச் செய்வது தவறு; ஆகவே [A], [R] இரண்டும் சரி, [R], [A]-வுக்குச் சரியான விளக்கம்.

    ஆதாரம்: கணக்கு, ஆறாம் வகுப்பு, முதல் பருவம், தொகுதி 2, தமிழ் வழி (Mathematics, Standard VI, Term I, Volume 2, Tamil medium; Samacheer Kalvi) (இயல் 1 எண்கள் (1.7 செயலிகளின் வரிசை), p. 17 (PDF p. 21))

  3. கேள்வி எண் 3

    5 × (6 + 2), (5 × 6) + 2 ஆகியவற்றின் மதிப்புகளுக்கு இடையிலான வேறுபாடு என்ன?

    1. A. 0
    2. B. 8
    3. C. 2
    4. D. 10
    விடையும் விளக்கமும்

    சரியான விடை: B. 8

    5 × (6 + 2) = 5 × 8 = 40; (5 × 6) + 2 = 30 + 2 = 32; வேறுபாடு 40 − 32 = 8; அடைப்புக்குறியைச் சரியான இடத்தில் இடுவதால் குழப்பம் தவிர்க்கப்படுகிறது.

    ஆதாரம்: கணக்கு, ஆறாம் வகுப்பு, முதல் பருவம், தொகுதி 2, தமிழ் வழி (Mathematics, Standard VI, Term I, Volume 2, Tamil medium; Samacheer Kalvi) (இயல் 1 எண்கள் (1.7 செயலிகளின் வரிசை), pp. 16-17 (PDF pp. 20-21))

அலகின் 20 இலவசக் கேள்விகள்

இந்தத் தலைப்பைப் பகிருங்கள்

அடிக்கடி கேட்கப்படும் கேள்விகள்

20 + [8 × 2 + {(6 × 3) − (10 ÷ 5)}] ஐச் சுருக்குக.

52.

24 + 2 × 8 ÷ 2 − 1 ஐச் சுருக்குக.

31.

(4^(−1) + 4^(−2) + 4^(−3))^0 × (4^(−1) + 4^(−2) + 4^(−3))^1 இன் மதிப்பு என்ன?

21/64 (2025 கேள்வி எண் 194).

முழு வழிகாட்டி: TNPSC தொகுதி 4 (Group 4) பகுதி இ திறனறிவு: 25 கேள்விகள், 2 அலகுகள், எப்படிப் பயிற்சி செய்வது

ஆதாரங்கள்

TNPSC Guide, TNPSC அதிகாரப்பூர்வத் தளம் அல்ல. அறிவிப்புகள்: tnpsc.gov.in · விண்ணப்பம்: apply.tnpscexams.in